Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，…．

（Ⅰ）判斷函數的單調性，并說明理由；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）理由見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先求出導函數，然后分、求得函數的單調區間；（Ⅱ）首先將問題轉化為，恒成立，由此令，然后通過求導研究其單調性并求得其最大值，從而求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由題可知，，則，

（i）當時，，函數為上的減函數，

（ii）當時，令，得，

①若，則，此時函數為單調遞減函數；

②若，則，此時函數為單調遞增函數．

（Ⅱ）由題意，問題等價于，不等式恒成立，

即，恒成立，

令，則問題等價于不小于函數在上的最大值．

由，

當時，，所以函數在上單調遞減，

所以函數在的最大值為，

故，不等式恒成立，實數的取值范圍為．