Question

【題目】已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，設f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，

當a＞0時，g（x）在[2，3]上為增函數，

故 ，可得 ， ．

當a＜0時，g（x）在[2，3]上為減函數．

故 可得 可得 ，

∵b＜1

∴a=1，b=0

即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+ ﹣2．

（2）解：方程f（2x）﹣k2x≥0化為2x+ ﹣2≥k2x，

k≤1+ ﹣

令 =t，k≤t2﹣2t+1，

∵x∈[﹣1，1]，∴t ，記φ（t）=t2﹣2t+1，

∴φ（t）min=0，

∴k≤0．

（3）解：由f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）=0

得|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0，

|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，

令|2x﹣1|=t，則方程化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），

∵方程|2x﹣1|+ ﹣（2+3k）=0有三個不同的實數解，

∴由t=|2x﹣1|的圖象（如下圖）知，

t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1，

記φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），

則 或

∴k＞0．

【解析】（1）利用二次函數閉區間上的最值，通過a與0的大小討論，列出方程，即可求a，b的值；（2）轉化不等式f（2x）﹣k2x≥0，為k在一側，另一側利用換元法通過二次函數在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求實數k的取值范圍；（3）化簡方程f（|2x﹣1|）+k（ ﹣3）=0，轉化為兩個函數的圖象的交點的個數，利用方程有三個不同的實數解，推出不等式然后求實數k的取值范圍．
【考點精析】利用函數的零點與方程根的關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．