Question

【題目】已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求證：對任意的，都有；

（3）若數(shù)列滿足，，記，是否存在整數(shù)，使得對任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）存在整數(shù)，使得對任意的都有成立，理由見解析.

【解析】

（1）利用等差等比數(shù)列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等比數(shù)列的通項公式得到答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到數(shù)列的通項公式，利用指數(shù)的運(yùn)算裂項，相消求和后得到的表達(dá)式，判定單調(diào)性，然后利用不等式的基本性質(zhì)即可證明；
（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，取得到的范圍，進(jìn)而求得的值為，然后證明當(dāng)時，對任意的，都有成立．為此先要根據(jù)，利用等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合，求得，然后利用作差法證明即可.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，

則，所以，

因為，所以．

所以，解得

所以，．

（2）因為

所以

又因為對任意的，都有單調(diào)遞增，

即，

所以對任意的，都有成立；

（3）假設(shè)存在滿足要求的整數(shù)，

令，則，解得；

令，則，解得；

令，則，解得；

所以，

又已知，故若存在，則．

下證：當(dāng)時，對任意的，都有成立．

；

；

即

又；

所以

則

而對任意的，單調(diào)遞增，

所以

即對任意的都有成立，得證.

所以，存在整數(shù)，使得對任意的都有成立．