Question

已知橢圓的一個焦點為，過點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為；為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

試題分析：(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個焦點為知，在代入點即可得得到一個關于的等式從而可求出的值，即可得橢圓的標準方程.
(Ⅱ) 由于，所以直線都過F點，從而又因為所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關鍵是求出線段的長度.首先要分類存在垂直于軸的情況，和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長的式子，類似地寫出另一條所得到的弦長.通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況，求出最大值與最小值.
試題解析：（Ⅰ）由題橢圓C的一個焦點為知故可設橢圓方程為，過焦點且與長軸垂直的直線方程為，設此直線與橢圓交于A,B兩點則，又，所以，又，聯(lián)立求得，，故橢圓方程為.
（Ⅱ）由，知，點共線，點共線，
即直線經(jīng)過橢圓焦點。又知，
（i）當斜率為零或不存在時，
（ii）當直線存在且不為零時，可設斜率為，則由知，的斜率為
所以：直線方程為：。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程，消去并化簡整理可得
，
設坐標為，則，…………①
從而，將①代入化簡得
，
將中換成可得,
所以=.
令，因為，所以，故，所以，當且僅當時，.綜上（i）（ii）可知，即四邊形PQMN的最大面積為2，最小面積為.