Question

正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和滿足：－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.證明：對于任意的n∈N*，都有Tn<.

 

Answer 1

（1）an＝2n（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，

得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.

由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.

于是a1＝S1＝2，n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.

綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n.

(2)證明：由于an＝2n，bn＝，則bn＝.

Tn＝

＝＝.

故對于任意的n∈N*，都有Tn<.