Question

已知F是橢圓C：

x2

16

+

y2

7

=1的左焦點，過原點O的直線交橢圓C于P，Q兩點，若|PF|•|QF|=9，則|PQ|=

2

14

．

Answer 1

分析：設P點的坐標為（m，n），利用橢圓的第二定義可表示出|PF|，|QF|，再利用|PF|•|QF|=9，可求得m，繼而可求得n，從而可求得|PQ|．

解答：解：∵F是橢圓C：

x2

16

+

y2

7

=1的左焦點，
∴F（-3，0），離心率e=

c

a

=

3

4

；
∵過原點O的直線交橢圓C于P，Q兩點，設P點的坐標為（m，n），
則Q（-m，-n）．
設P點在該橢圓的左準線x=-

a2

c

=-

16

3

上的射影為P′，Q點在該橢圓的左準線x=-

16

3

上的射影為Q′，
由橢圓的第二定義得：

|PF|

|PP′|

=

|QF|

|QQ′|

=e=

3

4

，
∴|PF|=

3

4

|PP′|=

3

4

[m-（-

16

3

）]=

3

4

（m+

16

3

），
同理可得，|QF|=

3

4

（

16

3

-m），
∵|PF|•|QF|=9，
∴

3

4

（m+

16

3

）•

3

4

（

16

3

-m）=9，
∴m²=

112

9

．
∵P（m，n）為橢圓C：

x2

16

+

y2

7

=1的點，
∴

112 9

16

+

n2

7

=1，
∴n²=

14

9

，
∴|PQ|²=4m²+4n²=4×

126

9

=56，
∴|PQ|=2

14

．
故答案為：2

14

．

點評：本題考查橢圓的第二定義，考查轉化思想與方程思想，考查運算能力，求得P點的坐標是關鍵，也是難點，屬于難題．