Question

已知a，b為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上均為減函數(shù)，則b-a的最大值為

1

3

．

Answer 1

分析：“函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)”等價(jià)于“f′（x）≤0，g′（x）≤0在（a，b）上恒成立”，從而可求出a，b的取值范圍，即可求出b-a的最大值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)，
∴f′（x）=3x²+a≤0在（a，b）上恒成立，
∴

f′(a)=3a2+a≤0 f′(b)=3b2+a≤0

，解得

- 1 3 ≤a≤0 3b2≤-a

，①
∵函數(shù)g（x）=x²+bx在區(qū)間（a，b）上為減函數(shù)，
∴g′（x）=2x+b≤0在（a，b）上恒成立，
即g′（b）=2b+b=3b≤0，②
由①②可得-

- a 3

≤b≤0，0≤-a≤

1

3

，
又∵a＜b，
∴0＜a-b≤

1

3

，即b-a的最大值為

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，同時(shí)考查了分析問題的能力．對(duì)于常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性要熟練掌握．屬于中檔題．