Question

【題目】設函數．

（1）若函數是R上的單調函數，求實數a的取值范圍；

（2）設a＝， (， )， 是的導函數．①若對任意的x＞0， ＞0，求證：存在，使＜0；②若，求證： ＜．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析： 求導得，由單調性推出a的取值范圍①得，求導，討論和，代入得出結論②由函數單調遞增得，證得，下面證明，即可得證

解析：（1）由題意， 對恒成立，

因為，所以對恒成立，

因為，所以，從而．

（2）①，所以．

若，則存在，使，不合題意，

所以．取，則．

此時．

所以存在，使．

②依題意，不妨設，令，則．

由（1）知函數單調遞增，所以．

從而．

因為，所以，

所以．

所以．

下面證明，即證明，只要證明．

設，所以在恒成立．

所以在單調遞減，故，從而得證．

所以， 即．