Question

已知等比數列的公比q＞0，a₁=

1

2

，且a₁是3a₂與2a₃的等差中項．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

21

2

+log2an(n∈N*），記數列{b_n}的前n項和為S_n，當n為何值時，S_n取得最大值？

Answer 1

分析：（1）依題意可求得等比數列{a_n}的公比q，利用其通項公式即可求得a_n；
（2）由（1）知a_n=(

1

2

)n，于是可求得b_n=

21

2

-n，易證數列{b_n}是以

19

2

為首項，-1為公差的等差數列，從而可求其前n項和S_n．

解答：解：（1）∵等比數列{a_n}的公比q＞0，a₁是3a₂與2a₃的等差中項，
∴3a₁q+2a₁q²=2a₁，又a₁=

1

2

，
∴q=

1

2

或q=-2（舍去），
∴a_n=(

1

2

)n；
（2）∵b_n=

21

2

+log₂a_n=

21

2

+log₂(

1

2

)n=

21

2

-n，
∴b_n+1=

21

2

-（n+1），
∴b_n+1-b_n=-1，又b₁=

19

2

，
∴數列{b_n}是以

19

2

為首項，-1為公差的等差數列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

19

2

n+

n(n-1)

2

×（-1）
=-

1

2

n²+10n．
=-

1

2

（n-10）²+50，
∴當n=10時，S₁₀取得最大值50．

點評：本題考查數列求和，著重考查等比數列與等差數列的通項公式，考查等差數列的公式法求和，屬于中檔題．