Question

已知數列的前項和，數列滿足．
（1）求
（2）求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（3）設，數列的前項和為，求滿足的的最大值．

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析，；（3）的最大值為．

試題分析：（1）根據條件中，可令，結合，即可得：；（2）欲證是等差數列，而條件中，因此可以首先根據數列滿足的條件探究與滿足的關系，進而可以得到數列中與滿足的關系：當時，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以為首項，為公差的等差數列，；
（3）由（2）結合條件，可得，因此可以考慮采用裂項相消法求數列的前項和：，從而可將轉化為關于的不等式：，結合，即可知的最大值為．
試題解析：（1）∵，∴令n=1，；
（2）證明：在中，當時，，
∴，即，∴，
又∵ ，∴，而，∴是以為首項，為公差的等差數列，
∴，∴；
（3）由（2）及 ，∴c_n＝log₂＝log₂2ⁿ＝n，
∴，∴ ，
∴，
又∵，∴的最大值為．