Question

【題目】如圖所示，在四棱臺中， 底面，四邊形為菱形， ， .

（Ⅰ）若為中點，求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】（Ⅰ）要證直線與平面垂直，現在由與底面垂直有，因此還要證一個垂直，證，這可通過等邊三角形得證，從而有需要的結論，因此證得線面垂直；

（Ⅱ）要求直線與平面所成的角，分別以為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 ， 、、、 ,求出平面的法向量，由直線的方向向量與平面法向量夾角得線面角．

試題解析：（Ⅰ） 四邊形為菱形， ，連結，則為等邊三角形，

又為中點， ，由 得， ,

底面， 底面， ，又 ,

平面

（Ⅱ）四邊形為菱形， ， ,

得， ， ，又底面,

分別以為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 ，

、、、 ,

, , ,

設平面的一個法向量 ，

則有，令，則

直線與平面所成角的正弦值

.