Question

在數列{a_n}中，a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數），若不共線的非零向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OC

=a1

OA

+a2010

OB

，三點A，B，C共線且該直線不過O點，則S₂₀₁₀等于

1005

．

Answer 1

分析：由a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數），知數列{a_n}是等差數列，由

OC

=a1

OA

+a2010

OB

，且A、B、C共線，知a₁+a₂₀₁₀=1，再由等差數列的前n項和公式能夠求出S₂₀₁₀．

解答：解：在數列{a_n}中，
∵a_n+1=a_n+a（n∈N^*，a為常數），
∴數列{a_n}是等差數列，
A、B、C三點共線的充要條件是：對平面內任意一點O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

，
因為

OC

=a1

OA

+a2010

OB

，且A、B、C共線，
所以a₁+a₂₀₁₀=1，
∴S2010=

2010

2

(a1+a2010)
=1005．
故答案為：1005．

點評：本題考查向量和數列的綜合運用，解題時要認真審題，注意A、B、C三點共線的充要條件是：對平面內任意一點O，都有

OC

=m 

OA

+(1-m)

OB

，解題的關鍵是由

OC

=a1

OA

+a2010

OB

，且A、B、C共線，知a₁+a₂₀₁₀=1．