Question

【題目】如圖,△ABC內接于☉O,AB=AC,直線MN切☉O于點C,弦BD∥MN,AC與BD相交于點E.

（1）求證:△ABE≌△ACD;
（2）求證:BE=BC.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BD∥MN,∴∠CDB=∠DCN.

又∠BAE=∠CDB,

∴∠BAE=∠DCN.

又直線MN是☉O的切線,

∴∠DCN=∠CAD.

∴∠BAE=∠CAD.

又∠ABE=∠ACD,AB=AC,

∴△ABE≌△ACD.

（2）證明：∵∠EBC=∠BCM,∠BCM=∠BDC,

∴∠EBC=∠BDC.

∴CB=CD.

∵∠BEC=∠EDC+∠ECD,∠ECD=∠ABE,

∴∠BEC=∠EBC+∠ABE=∠ABC.

又AB=AC,

∴∠ABC=∠ECB.

∴∠BEC=∠ECB.

∴BE=BC.

【解析】本題主要考查了弦切角的性質，解決問題的關鍵是根據弦切角的性質(1)由已知,得∠ABE=∠ACD,只需證明∠BAE=∠CAD,轉化為證明∠BAE=∠CDB,∠CDB=∠DCN,∠DCN=∠CAD.(2)轉化為證明∠BEC=∠ECB.