Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，且過(guò)點(diǎn)A (2，2)，橢圓的離心率為，點(diǎn)B為拋物線(xiàn)C與橢圓D的一個(gè)公共點(diǎn)，且.

(Ⅰ)求橢圓D的方程；

(Ⅱ)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(0，t)的直線(xiàn)l的斜率為k，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)OM，ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為k1，k2，若對(duì)任意k，存在實(shí)數(shù)λ，使得k1+ k2=λk，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：(Ⅰ)由點(diǎn)A(2，2)在拋物線(xiàn)上，得所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為，其焦點(diǎn)F(0， )，設(shè)B(m，n)，則由拋物線(xiàn)的定義可得|BF| = ，解得，代入拋物線(xiàn)方程可得m=±,所以B(±,1)，橢圓C的離心率，所以，又點(diǎn)B(±,1)在橢圓上，可得的值即得橢圓D的方程；

(Ⅱ) 設(shè)直線(xiàn)l的方程為. 由，消元可得，根據(jù)韋達(dá)定理得，因?yàn)榇说仁綄?duì)任意的都成立,所以，即. 由題意得點(diǎn)P(0，t)在橢圓內(nèi)，故0≤t2<2，即0≤<2可解得實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

試題解析：

(Ⅰ)由點(diǎn)A(2，2)在拋物線(xiàn)上，得，解得

所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為，其焦點(diǎn)F(0， )，

設(shè)B(m，n)，則由拋物線(xiàn)的定義可得|BF| = ，解得，

代入拋物線(xiàn)方程可得m2=2n = 2,解得m=±,所以B(±,1)，

橢圓C的離心率，所以，

又點(diǎn)B(±,1)在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓D的方程為.

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l的方程為.

由，消元可得，

設(shè)M(x1 , y1 ) , N(x2，y2)，則，

而，由，得，

因?yàn)榇说仁綄?duì)任意的都成立,所以，即.

由題意得點(diǎn)P(0，t)在橢圓內(nèi)，故0≤t2<2，即0≤<2，解得.