Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的右焦點為，定點，過點且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點，以線段為直徑的圓與直線的另一個交點為，試探究在軸上是否存在一定點，使直線恒過該定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點為

【解析】

（1）首先根據題意列出方程組，再解方程組即可.

（2）首先設，，的方程為：.聯立，利用韋達定理，結合求出直線，再令即可得到直線恒過的定點.

（1）由題知，解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）設，，因為直線的斜率不為零，令的方程為：

由得

則，，

因為以為直徑的圓與直線的另一個交點為，

所以，則.

則，故的方程為：.

令，則

而，，

所以，

所以.

故直線恒過定點，且定點為