Question

定義M_xⁿ=x（x+1）（x+2）…（x+n-1）（x∈R，n∈N^*），如M_-4⁴=（-4）×（-3）×（×2）×（-1）=24．對于函數f（x）=M_x-1³，給出下列四個命題：
①f （x）的最大值為；②f （x）為奇函數；③f（x）的圖象不具備對稱性；④f （x）在上是減函數，
真命題是    （填命題序號）．

Answer 1

【答案】分析：由題中條件可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x，對函數求導可得，f′（x）=3x²-1，
①通過研究函數的單調區間求解函數的極值及最值進行判斷；②利用奇函數的定義驗證f（-x）=-f（x）是否成立；③結合②的討論可進行判斷即可④由①的討論可知
解答：解：由題意可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x
①：f′（x）=3x²-1，
由f′（x）＞0可得；由f′（x）＜0可得
所以可得函數在（-∞，），單調遞增，在（）單調遞減
故可得函數在x=-處取得極大值，而沒有最大值①錯誤
②：f（-x）=（-x）³+x=-x³+x=-f（x），故函數為奇函數，②正確
③：由②可得函數的圖象關于原點對稱③錯誤
④：由①的討論可知④正確
故答案為：②④
點評：本題以新定義為載體，綜合考查了函數的性質，解答本題的關鍵是要根據題目中的定義求解出函數的解析式，進而結合導數的知識求解．