Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，則在R上方程f（x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，知2010^x+log₂₀₁₀x=0有唯一實(shí)數(shù)根，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x＜0時(shí)，也有唯一一個(gè)根使得f（x）=0，從而得到結(jié)論．
解答：當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得，即2010^x=-log₂₀₁₀x，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象，
如右圖，可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）=0也有一個(gè)實(shí)根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題本題主要考查了奇函數(shù)圖象的性質(zhì)應(yīng)用，即根據(jù)題意畫出一部分函數(shù)的圖象，由交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)，利用圖象的對(duì)稱性和“f（0）=0”求出方程根的個(gè)數(shù)，易漏f（0）=0，屬于中檔題．