Question

（本小題12分）已知（）.
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；
（2）若，用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）是否存在實數(shù)，使得的定義域為時，值域為
，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，則說明理由.

Answer 1

（1）奇函數(shù).（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）滿足題目條件的實數(shù)存在，實數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式，解之即可求出函數(shù)的定義域，判定是否對稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比較真數(shù)的大小，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進行判定即可；
（3）假設(shè)存在實數(shù)a滿足題目條件，然后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[m，n]上單調(diào)性建立等式關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化成方程x²+（1-a）x+a=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩個不同的實根，從而可求出a的取值范圍．
解：（1）由得：或 .
所以，函數(shù)的定義域為.
又
為奇函數(shù).
（2）任取，且，則.
因為
所以，又因為，所以，
故,所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）假設(shè)存在實數(shù)滿足題目條件.
由題意得：，又，
又，，.
故，由（2）得：函數(shù)在區(qū)間上單減.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故，，所以，
所以，
是方程的兩個不同的實根.
故，方程在區(qū)間上有兩個不同的實根.
則，解得：.又，
所以，所以，滿足題目條件的實數(shù)存在，實數(shù)的取值范圍是.
點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于方程在某個區(qū)間上方有幾個不同的實數(shù)根的問題，常常轉(zhuǎn)化為分析參數(shù)來求解其范圍。