Question

已知f（x）=|x-a|．
（1）若a=1，作出f（x）的圖象；
（2）當x∈[1，2]，求f（x）的最小值；
（3）若g（x）=2x²+（x-a）|x-a|，求函數的最小值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）=|x-1|，作出其圖象即可；
（2）對a分a∈（-∞，1），a∈[1，2]，a∈（2，+∞）三種情況討論，再結合在相應區間上的單調性即可求得x∈[1，2]時f（x）的最小值；
（3）為了去掉絕對值符號，可分x≥a與x≤a兩種情況討論，再結合二次函數的性質即可求函數的最小值．

解答：解：（1）因為a=1，作圖如下（2分）
（2）①當a∈（-∞，1）時，f（x）=|x-a|=x-a，
因為f（x）在[1，2]遞增，
所以f（x）_min=f（1）=1-a；----------（4分）
②當a∈[1，2]時，當x=a時，f（x）_min=0
③當a∈（2，+∞）時，f（x）=|x-a|=a-x，
因為f（x）在[1，2]遞減，
所以f（x）_min=f（2）=a-2----------（6分）
綜上所述f(x)=

1-a，a＜1 0，1≤a≤2 a-2，a＞2

----------（8分）
（3）①當x≥a時，f（x）=3x²-2ax+a²=3(x-

a

3

)2+

2

3

a²，
∴若a≥0，f（x）在[a，+∞）上單調遞增，f（x）_min=f（a）=2a²；
若a＜0，f（x）在[

a

3

，+∞）上單調遞增，f（x）_min=f（

a

3

）=

2

3

a²；
②當x≤a時，f（x）=x²+2ax-a²=（x+a）²-2a²，
若a≥0，f（x）在（-∞，-a]上單調遞減[-a，a）上單調遞增，f（x）_min=f（-a）=-2a²；
若a＜0，f（x）在（-∞，a]上單調遞減，f（x）_min=f（a）=2a²；
綜上f(x)min=

-2a2，a≥0 2a2 3 ，a＜0

----------（12分）

點評：本題考查帶絕對值的函數，關鍵在于去掉函數式中的絕對值符號，方法是分類討論，重點考查分類討論思想與轉化的思想，難點在于對含參數的二次函數的最值的研究，屬于難題．