Question

【題目】已知為偶函數．

（1）求實數的值，并寫出在區間上的增減性和值域（不需要證明）；

（2）令，其中，若對任意、，總有，求的取值范圍；

（3）令，若對任意、，總有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），在上是增函數，值域為；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用偶函數的定義，作差變形可求出，結合函數的解析式寫出該函數在區間上的單調性，并利用單調性得出函數在該區間上的值域；

（2）由題意得出，且，換元，構造函數，由可得出二次函數的對稱軸，分析函數在區間上的單調性，求出函數的最大值和最小值，結合不等式求出實數的取值范圍；

（3）由可得出，求出不等式右邊代數式的取值范圍，可得出實數的取值范圍.

（1）函數為偶函數，則，

即，

由題意知，對任意的，恒成立，則，，

，該函數在區間上為增函數，且，

所以，函數在區間上的值域為；

（2）由題意知，，且，

設，，則，且，

設函數，則，二次函數的對稱軸為直線.

，，則函數在區間上單調遞增，

則，，

，解得，

，，因此，實數的取值范圍是；

（3），

，

，

由，

可得，

，

由于函數在上單調遞增，且，，

，，又，，

所以，，因此，實數的取值范圍是.