Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD,AD⊥DC,∠BCD=45°．

（Ⅰ）設PD的中點為M，求證：AM平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面PBC所成角的正切值.

Answer 1

(I)見解析   （Ⅱ）

（Ⅰ）利用所給直線的向量與已知平面的法向量垂直可證明直線與平面平行；（Ⅱ）利用直線所在的向量與平面法向量的夾角與直線與平面的夾角互余可求出所求角
(I),如圖建立空間直角坐標系．

設,則，，．   ……2分
設平面的一個法向量為，則


令得．  ……4分
而，所以，即，又平面
故平面．……6分
（Ⅱ），設與平面所成角為，
由直線與平面所成角的向量公式有．…11分