Question

設函數．
（I）求的值；
（II）若關于x的方程在x∈[0，1）上有實數解，求實數t的取值范圍．
（III）設函數g（x）是函數f（x）的反函數，求證：當．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用對數的運算性質化簡f（m）+f（n）的結果等于，從而得到的值．
（II）把條件等價轉化為t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有實數解，利用導數判斷t在x∈[0，1）上是減函數，得t（1）＜t≤t（0），由此解得實數t的取值范圍．
（III）先求出函數g（x），設 G（x）=g（x）-，（x＞0），利用導數判斷G（x） 在[0，+∞）上單調遞減，得到g（x）＜，由此放縮要證得不等式成立．
解答：解：（I）∵函數，∴=+- 
=-=-=-=-=0．
（II）∵關于x的方程在x∈[0，1）上有實數解，
∴=，
∴= 在x∈[0，1）上有實數解，∴t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有實數解．
∵t′=6x（x-1），x∈[0，1）時，t′＜0，t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上是減函數，
∴t（1）＜t≤t（0），解得 4＜t≤5．
∴實數t的取值范圍為（4，5]．
（III）函數g（x）是函數f（x）的反函數，f（x）的定義域為（-1，1），求得g（x）=f^-1（x）= （x∈R）．
設 G（x）=g（x）-，（x＞0），則  G′（x）=g′（x）-=≤0．
∵a＞1，∴G（x） 在[0，+∞）上單調遞減，當x＞0時，G（x）＜G（0），即 g（x）＜．
∴a＞1時，＜ （）=•＜•=．

即＜，（n∈N^*）成立．
點評：本題主要考查對數的運算性質的應用，求反函數，以及用放縮法證明不等式，屬于難題．