Question

【題目】已知數列滿足， .

(1)求證： ；

(2)求證： ；

(3)求證： .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析： 用數學歸納法證明，當時成立，假設成立下證時也成立當時成立，由(1)結果得 ，下證也成立由(2)結果得計算得出結果

解析：(1)用數學歸納法證明.

①當n＝1時，命題顯然成立；

②假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，有≤ak≤1成立，

則當n＝k＋1時，ak＋1＝，

ak＋1＝，

即當n＝k＋1時也成立，

所以對任意n∈N*，都有≤an≤1.

(2)當n＝1時，|a2－a1|＝，

當n≥2時，∵ ＝·＝1＋≥1＋＝，

∴|an＋1－an|＝

＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|

＝.

綜上所述，|an＋1－an|≤.

(3)當n＝1時，|a2－a1|＝＝；

當n≥2時，由(2)知

|a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an|≤

＝，綜上所述，|a2n－an|≤.