Question

【題目】如表是一個由n2個正數組成的數表，用aij表示第i行第j個數（i，j∈N），已知數表中第一列各數從上到下依次構成等差數列，每一行各數從左到右依次構成等比數列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．

（1）求an1和a4n；
（2）設bn= +（﹣1）na （n∈N+），求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設第1列依次組成的等差公差為d，

設第1行依次組成的等比數列的公比為q，

根據題意a31+a61=（1+2d）+（1+5d）=9，

∴d=1，

∴an1=a11+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，

∵a31=a11+2d=3，

∴a35=a31q4=3q4=48，

∵q＞0，

∴q=2，

∵a41=4，

∴a4n=a41qn﹣1=4×2n﹣1=2n+1

（2）解：由bn= +（﹣1）na （n∈N+）

= +（﹣1）nn

= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，

前n項和Sn=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ +[﹣1+2﹣3+4﹣5+（﹣1）nn]，

當n為偶數時，Sn=1﹣ + ；

當n為奇數時，Sn=Sn﹣1+bn=1﹣ + + ﹣ ﹣n

=1﹣ ﹣ = ﹣

【解析】（1）設第1列依次組成的等差公差為d，設第1行依次組成的等比數列的公比為q，根據題意可以求出d和q，再根據通項公式的定義即可求出；（2）求出bn= +（﹣1）na （n∈N+）= +（﹣1）nn= ﹣ +（﹣1）nn，根據裂項相消法和分組，討論即可求出前n項和．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．