Question

已知定義在區間[0，1]上的函數y=f（x）的圖象如圖所示，對于滿足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，給出下列結論：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
②[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＜0；
③x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
④

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)．
其中正確的結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可作出函數y=f（x）的圖象，利用直線的斜率的幾何意義，利用數形結合的思想研究函數的單調性與最值即可得到答案．

解答：解：由函數y=f（x）的圖象可得，
當0＜x₁＜x₂＜1時，0＜f（x₁）＜f（x₂）＜1，
[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＞0，故②錯誤；
函數y=f（x）在區間[0，1]上的圖象如下：


對于①設曲線y=f（x）上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），直線AB的斜率k_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜k_op=1，
∴f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，故①錯誤；
對于③，由圖可知，k_oA＞k_oB，即

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，0＜x₁＜x₂＜1，于是有x₂f（x₁）＞x₁f（x₂），故③正確；
對于④，設AB的中點為R，則R（

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

），

AB

的中點為S，則S（

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

)），
顯然有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)，即④正確．
綜上所述，正確的結論的序號是③④．

點評：本題考查函數的圖象，著重考查直線的斜率的幾何意義，考察函數的單調性，突出考查作圖象的能力與數形結合解決問題的能力，屬于中檔題．