Question

已知數列{a_n}滿足以下兩個條件：①點（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上；②首項a₁是方程3x²-4x+1=0的整數解．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）等比數列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得{a_n}是一個等差數列，且公差為2，首項為1，易得通項公式；（II）由（I）易得等比數列{b_n}的首項和公比，代入求和公式可得答案．

解答：解：（I）方程3x²-4x+1=0的解為x=

1

3

，或x=1，故整數解為x=1
根據已知a₁=1，a_n+1=a_n+2，即a_n+1-a_n=2，
所以數列{a_n}是一個等差數列，且公差為2，
故可得a_n=1+2（n-1）=2n-1…（6分）
（II）由（I）可知，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，…（8分）
故等比數列{b_n}中，公比q=

b2

b1

=3，所以b_n=1×3^n-1=3^n-1…（10分）
故數列{b_n}的前n項和T_n=

b1(1-qn)

1-q

=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

…（12分）

點評：本題查看等差數列與等比數列的通項公式，以及等比數列的求和公式，屬中檔題．