Question

【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為， （其中為常數(shù)）.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證： （其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】試題分析:（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程;（2）構(gòu)造新函數(shù)，則有在上恒成立；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分類討論函數(shù)的單調(diào)性,求出參數(shù)范圍; （3）令，求導(dǎo)可得取得最小值；構(gòu)造， 取得最小值；當(dāng)時(shí)， ，得證.

試題解析:（）， ，得；又由，得，

所以．

（2）對(duì)任意，不等式恒成立；

等價(jià)于對(duì)任意，不等式恒成立；

令，則有在上恒成立；

；

若，當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)， ；

若，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ，與題意矛盾；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）令，

；令，解得；

令，解得；∴在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

故當(dāng)時(shí)， 取得最小值；

，

，令，解得；令，解得；

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

故當(dāng)時(shí)， 取得最小值；

所以，當(dāng)時(shí)， ，

即，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．