Question

（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求證：|

1-ab

a-b

|＞1；
（2）求實數λ的取值范圍，使不等式|

1-abλ

aλ-b

|＞1對滿足|a|＜1，|b|＜1的一切實數a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若|

a+b

1+ab

|＜1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用綜合法，首先化簡|1-ab|²-|a-b|²可得，|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）；結合題意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范圍，進而可得|1-ab|²-|a-b|²＞0，由不等式的性質，可得答案；
（2）根據題意，將|

1-abλ

aλ-b

|＞1轉化為分式，可得

1-abλ

aλ-b

|＞1?（a²λ²-1）（b²-1）＞0，由于|b|＜1，則b²-1＞0，即只需a²λ²-1＞0即可，分a=0與a≠0兩種情況討論，可得答案；
（3）根據題意，可得|

a+b

1+ab

|＜1?（a²-1）（b²-1）＜0，結合題意|a|＜1，可得a²＜1，即只需1-b²＞0，解可得答案．

解答：解：（1）證明：|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²-1＜0，b²-1＜0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0．
∴|1-ab|＞|a-b|，

|1-ab|

|a-b|

=

|1-a•b|

|a-b|

＞1．

（2）解：∵|

1-abλ

aλ-b

|＞1?|1-abλ|²-|aλ-b|²=（a²λ²-1）（b²-1）＞0．
∵b²＜1，
∴a²λ²-1＜0對于任意滿足|a|＜1的a恒成立．
當a=0時，a²λ²-1＜0成立；
當a≠0時，要使λ²＜

1

a2

對于任意滿足|a|＜1的a恒成立，而

1

a2

＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．
（3）|

a+b

1+ab

|＜1?（

a+b

1+ab

）²＜1?（a+b）²＜（1+ab）²?a²+b²-1-a²b²＜0?（a²-1）（b²-1）＜0．
∵|a|＜1，
∴a²＜1．
∴1-b²＞0，
即-1＜b＜1．

點評：本題考查不等式性質的基本運用，注意結合題意，進行分式、整式的轉化，一般利要積的符號法則進行分析．