Question

【題目】

設為實數，函數。

(1)求的單調區間與極值；

(2)求證：當且時，。

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

試題（1）由，知．令，得．列表討論能求出的單調區間區間及極值．

（2）設，于是,由（1）知當時，最小值為，于是對任意，都有，所以在內單調遞增．由此能夠證明．

試題解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R，

∴f′（x）=ex﹣2，x∈R．

令f′（x）=0，得x=ln2．

于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調遞減區間是（﹣∞，ln2），

單調遞增區間是（ln2，+∞），

f（x）在x=ln2處取得極小值，

極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），無極大值．

（2）證明：設g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R，

于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．

由（1）知當a＞ln2﹣1時，

g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．

于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．

于是當a＞ln2﹣1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．

而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．

即ex﹣x2+2ax﹣1＞0，

故ex＞x2﹣2ax+1．