Question

（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，平面側面。
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關系，并予以證明。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ），證明見解析。

（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC側面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC。
因為三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，則AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC。
又AA₁AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC。
（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，
是二面角A₁—BC—A的平面角，即
于是在中，在中，，
由，得，又，所以。
解法2：由（1）知，以點為坐標原點，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，
則，
于是，。
設平面的一個法向量為，則
由得
可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角。
所以，，
所以。
于是由，得，
即，又所以。
第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統方法一般來說要先作垂直，進而得直角三角形。若用向量方法，關鍵在求法向量。