Question

【題目】設a＞1，函數f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）證明f（x）在（﹣∞，+∞）上僅有一個零點；
（3）若曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，且在點M（m，n）處的切線與直線OP平行，（O是坐標原點），證明：m≤ ﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）【解答】解： f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2，

∴f′（x）≥0，

∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上為增函數．

（2）證明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，

∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，

∵f（ ）=（1+a） ﹣a= +a（ ﹣1），a＞1，

∴ ＞1， ﹣1＞0，即f（ ）＞0，

且由（1）問知函數在（﹣∞，+∞）上為增函數，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一個零點．

（3）證明：f′（x）=ex（x+1）2，

設點P（x0，y0）則f'（x）=ex0（x0+1）2，

∵y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，

∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，

∴x0=﹣1，

將x0=﹣1代入y=f（x）得y0= ．

∴ ，

∴ ，

要證m≤ ﹣1，即證（m+1）3≤a﹣ ，

需要證（m+1）3≤em（m+1）2，

即證m+1≤em，

因此構造函數g（m）=em﹣（m+1），

則g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0．

當m∈（0，+∞）時，g′（m）＞0，

當m∈（﹣∞，0）時，g′（m）＜0，

∴g（m）的最小值為g（0）=0，

∴g（m）=em﹣（m+1）≥0，

∴em≥m+1，

∴em（m+1）2≥（m+1）3，

即： ，

∴m≤ ．

【解析】（1）利用f′（x）≥0即可得它的單調增區間。
（2）利用零點存在定理f（a）f（b），即可找到零點。
（3）利用導數的幾何意義，在某一點處對應的切線斜率。且切線與x軸平行，可得p點坐標和.同理可求M點處的切線。構造新的函數g（m），利用導數找到它的最值。
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．