Question

【題目】已知定義域在R上的函數f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r為正實數，且p+q+r=a，求證：p2+q2+r2≥3．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，

當且僅當﹣1≤x≤2時，等號成立，

∴f（x）的最小值為3，即a=3

（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實數，

∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2

=（p+q+r）2=32=9，

即p2+q2+r2≥3

【解析】（1）由絕對值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，當且僅當ab≤0，取等號；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2 ， 即可證得．