Question

（2011•武昌區模擬）如圖，已知點P是圓C：x2+(y-2

2

)2=1上的一個動點，點Q是直線l：x-y=0上的一個動點，O為坐標原點，則向量

OP

在向量

OQ

上的投影的最大值是（　　）

• A．3
• B．2+

  2

  2

• C．3

  2

• D．1

Answer 1

分析：設

OP

，

OQ

夾角為θ，則向量

OP

在向量

OQ

上的投影等于|

OP|

cosθ=

OP • OQ

| OQ |

．分析出θ應為銳角，設P（x，y），不妨取Q（1，1），轉化為求x+y的最小值問題，可以用圓的參數方程或線性規劃的方法求解．

解答：解：設

OP

，

OQ

夾角為θ，則向量

OP

在向量

OQ

上的投影等于|

OP|

cosθ，若取得最大值則首先θ為銳角．
設P（x，y），不妨取Q（1，1），則根據向量數量積的運算得出|

OP|

cosθ=

OP • OQ

| OQ |

=

x+y

2

①
由于P是圓C：x2+(y-2

2

)2=1上的一個動點，設

x=cosα y=2 2 +sinα

②
將②代入①得出|

OP|

cosθ=

2

2

（cosα+sinα+2

2

），而cosα+sinα的最大值為

2

，
所以|

OP|

cosθ≥

2

2

×3

2

=3
故選A．

點評：本題考查向量投影的計算，最值問題求解，考查轉化、計算能力．