Question

設函數f(x)＝ x³－mx²＋(m²－4)x，x∈R．
（1）當m＝3時，求曲線y＝f(x)在點（2，f(2)）處的切線方程；
（2）已知函數f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且α＜β．若對任意的
x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1) 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

見解析

解：(1)當m＝3時，f(x)＝ x³－3x²＋5x，f ′ (x)＝x²－6x＋5．
因為f(2)＝ ，f ′ (2)＝－3，所以切點坐標為（2，）， 切線的斜率為－3．
則所求的切線方程為y－ ＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0．
（2）解法一：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
當x∈（－∞，m－2）時，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函數；
當x∈（m－2，m＋2）時，f ′ (x)＜0，f(x)在（m－2，m＋2）上是減函數；
當x∈（m＋2，＋∞）時，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函數．
因為函數f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且f(x)＝x[x²－3mx＋3(m²－4)]，
所以解得m∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)．
當m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0．
此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去；
當m∈(－2，2)時，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β．
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值．
因為當x＝m＋2時，函數f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1；
當m∈(2，4)時，0＜m－2＜m＋2，所以0<α＜m－2＜m＋2＜β．
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值．
因為當x＝m＋2時，函數f(x)在[α，β]上取最小值，所以m＋2＝1，即m＝－1 (舍去)．
綜上可知，m的取值范圍是{－1}．
解法二：f ′ (x)＝x²－2mx＋(m²－4)，令f ′ (x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2．
所以，當x∈（－∞，m－2）時，f ′ (x)＞0，f(x)在（－∞，m－2）上是增函數；
當x∈(m－2，m＋2)時，f ′ (x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數；
當x∈（m＋2，＋∞）時，f ′ (x)＞0，f(x)在（m＋2，＋∞）上是增函數．…9分
當α＜β＜0時，必有α＜m－2＜β＜m＋2＜0，則當x∈[α，β]時，f(x)的最小值是f(α)＝0．
此時f(1)＞f(0)＝0＝f(α)，與題意不合，故舍去；
當α＜0＜β時，則有α＜m－2＜0＜m＋2＜β，此時3(m²－4)＜0，即－2＜m＜2．
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值．
又函數f(x)在[α，β]上的最小值就是極小值，所以f′(1)＝0，得m＝3（舍去）或m＝－1；
當0＜α＜β時，則有0＜α＜m－2＜m＋2＜β，此時
解得m∈(2，4)．
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β．
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值．
又函數f(x)在[α，β]上的最小值就是極小值，所以f ′(1)＝0，得m＝3或m＝－1（舍去）．
又因為當m＝3時，f(1)為極大值，與題意不合，故舍去．
綜上可知，m的取值范圍是{－1}．