Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，，8）數據作了初步處理， 得到下面的散點圖及一些統計量的值．

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中wi= ， =
（Ⅰ）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2y﹣x．根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：
（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據（u1 ， v1），（u2 ， v2），，（un ， vn），其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為： = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+d 適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． （Ⅱ）令ω= ，先建立y關于ω的線性回歸方程．
由于d= =68，c=563﹣68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為y=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為y=100.6+68 ．
（Ⅲ）（ i）由（Ⅱ）知，當x=49時，年銷售量y的預報值y=100.6+68 =576.6，
年利潤z的預報值z=576.6×0.2﹣49=66.32．（8分）
（ ii）根據（Ⅱ）的結果知，年利潤z的預報值z=0.2（100.6+68 ）﹣x=﹣x+13.6 +20.12，
當 =6.8時，年利潤的預報值最大．
故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．
【解析】（Ⅰ）根據散點圖，即可判斷出，（Ⅱ）先建立中間量ω= ，建立y關于w的線性回歸方程，根據公式求出w，問題得以解決；（Ⅲ）（i）年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，（ii）求出預報值得方程，根據函數的性質，即可求出．