當今的時代是計算機時代，我們知道計算機裝置有一數據輸入口A和一個運算結果的輸出口
B．某同學編入下列運算程序將數據輸入且滿足以下性質：(1)從A輸入1時，從B得到
；(2)從A輸入整數n(n≥2)時，在B得到的結果f(n)是將前一結果f(n－1)先乘以奇數2n－3，再除以奇數2n＋1．試問：
(Ⅰ)從A輸入2，3，4時，從B分別得到什么數？
(Ⅱ)從A輸入1，2，3，……2002時，從B得到的各數之和是多少？并說明理由．
|
解：(Ⅰ)由題設知f(1)＝ ∴n＝2時，f(2)＝ n＝3時，f(3)＝ n＝4時，f(4)＝ (Ⅱ)猜想f(n)＝ (i)當n＝1時，左邊＝f(1)＝ ∴左邊＝右邊，n＝1時，命題正確 (ii)假設n＝k時，命題正確，即f(k)＝ 那么n＝k＋1時，f(k＋1)＝ ＝ ＝ ∴n＝k＋1時，命題也正確 由(i)(ii)知，對n∈N命題正確，即f(n)＝ ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2002)＝ ＝ ＝ |
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，f(n)＝
f(n－1)
·
＝
·
＝
·
＝
以下用數學歸納法證明
，右邊＝
＝
f(k)＝
＝右邊
＋
＋
＋…＋
[(1－
)＋(
)＋(
)＋(
)＋…＋(
－
)]
