Question

選修4—1：幾何證明選講（10分）：
如圖：如圖E、F、G、H為凸四邊形ABCD中AC、BD、AD、DC的中點，∠ABC=∠ADC。

（1）求證：∠ADC=∠GEH；       （3分）
（2）求證：E、F、G、H四點共圓； （4分）
（3）求證：∠AEF=∠ACB－∠ACD  （3分）

Answer 1

證明略

證明：
（1）因為E、G、H為凸四邊形ABCD中AC、AD、DC的中點，
所以EG//CD ，EH//AD 四邊形EGDH是平行四邊形
∠ADC=∠GEH；                                            --------------3分
（2）E、F、H為凸四邊形ABCD中AC、BD、CD的中點，
FG//AB∠GFD=∠ABD 同理可證∠DBC=∠DFH
所以∠GFH=∠ABC  （FG//AB,FH//BC利用等角定理亦可得）         ------5分
又因為∠ABC=∠ADC（條件），∠ADC=∠GEH（已證）
所以 ∠GFH=∠GEH，所以E、F、G、H四點共圓；                   ---------7分
（3）BC//FH，GH//AC∠ABC=∠FHG(等角定理)
E、F、G、H四點共圓∠FHG=∠FEG   所以∠ABC=∠FEG
EG//CD∠AEG=∠ACD  
∠AEF=∠FEG－∠AEG=∠ACB－∠ACD                         --------10分