Question

（2013•延慶縣一模）空氣質量指數PM2.5（單位：μg/m³）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.5 日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質量級別	一級	二級	三級	四級	五級	六級
空氣質量類型	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行監測，獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示：
（Ⅰ）根據你所學的統計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？（注：不需說明理由）
（Ⅱ）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率；
（Ⅲ）在乙城市15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知：甲城市空氣質量一級和二級共有10天，而乙城市空氣質量一級和二級只有5天，因此甲城市空氣質量總體較好．
（II）由（I）的分析及相互獨立事件的概率計算公式即可得出；
（III）利用超幾何分布即可得到分布列，再利用數學期望的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）甲城市空氣質量總體較好．
（Ⅱ）甲城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有10天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為

10

15

=

2

3

，
乙城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有5天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為

5

15

=

1

3

，
在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率為

2

3

×

1

3

=

2

9

．
（Ⅲ）X的取值為0，1，2，
P(X=0)=

C 0 5 C 2 10

C 2 15

=

3

7

，P(X=1)=

C 1 5 C 1 10

C 2 15

=

10

21

，P(X=0)=

C 2 5 C 0 10

C 2 15

=

2

21

．
X的分布列為：

X	0		2
P	3 7	10 21	2 21

數學期望EX=0×

3

7

+1×

10

21

+2×

2

21

=

2

3

．

點評：正確理解莖葉圖、相互獨立事件的概率計算公式、超幾何分布、隨機變量的分布列、數學期望的計算公式、排列與組合的計算公式是解題的關鍵．