Question

如圖,AB為圓O的直徑,點C為圓O上異于A、B的一點，PA⊥平面ABC，點A在PB、PC上的射影分別為點E、F.

⑴求證：PB⊥平面AFE；
⑵若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱錐C-PAB的體積與此三棱錐的外接球（即點P、A、B、C都在此球面上）的體積之比.

Answer 1

（1）見解析（2）

⑴
，又AB是圓O的直徑,
所以BC⊥面PAC, 又因AF面PAC,
所以AF⊥BC, 又因AF⊥PC,
所以AF⊥面PBC, 又因PB面PBC,      
所以PB⊥AF, 又因PB⊥AE, 所以PB⊥面AFE.     
⑵，
取PB的中點M，由直角三角形性質得，PM=AM=BM=CM，故三棱錐的外接球球心為M，其半徑為，所以，體積之比為