Question

已知且，函數，，記

（1）求函數的定義域及其零點；

（2）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1），0；（2）

【解析】

試題分析：（1）均有意義時，才有意義，即兩個對數的真數均大于0.解關于x的不等式即可得出的定義域，函數的零點，即，整理得，對數相等時底數相同所以真數相等，得到，基礎x即為函數的零點（2）即，，應分和兩種情況討論的單調性在求其值域。有分析可知在這兩種情況下均為單調函數，所以的值域即為。解關于m的不等式即可求得m。所以本問的重點就是討論單調性求其值域。

試題解析：（1）【解析】
（1）（且）

，解得，

所以函數的定義域為 2分

令，則（*）方程變為

，，即

解得， 3分

經檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，

所以函數的零點為， 4分

（2）∵函數在定義域D上是增函數

∴①當時， 在定義域D上是增函數

②當時，函數在定義域D上是減函數 6分

問題等價于關于的方程在區間內僅有一解，

∴①當時，由（2）知，函數F（x）在上是增函數

∴∴只需 解得：或

∴②當時，由（2）知，函數F（x）在上是減函數

∴ ∴只需 解得： 10分

綜上所述，當時：；當時，或（12分）

考點：對數函數的定義域，函數的零點，復合函數單調性