Question

已知函數f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，求實數a的值；
(2)在(1)的條件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

(1) a＝2   (2) (－∞，5]

(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)方法一：當a＝2時，f(x)＝|x－2|，
設g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，
當且僅當－3≤x≤2時等號成立，得g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一切實數x恒成立，實數m的取值范圍為(－∞，5]．
方法二：當a＝2時，f(x)＝|x－2|，設g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以當x＜－3時，g(x)＞5；
當－3≤x≤2時，g(x)＝5；
當x＞2時，g(x)＞5.
綜上可得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m對一切實數x恒成立，實數m的取值范圍為(－∞，5]．