Question

已知定義域為[0，1]的函數f （x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f （x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(

1

4

，

1

2

]時，f（x）＜2x．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0，依條件③可得f（0）≤0，又由條件（1）得f（0）≥0，利用夾逼法則可求出f（0）的值；
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1，然后根據f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），可得函數的單調性，從而求出函數的最大值；
（3）當x∈(

1

2

，1]時，可得f（x）≤f（1）=1，當x∈(

1

4

，

1

2

]時，則

1

2

＜2x≤1，根據③可證得結論．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，依條件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，則
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是當0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1因此當x=1時，f（x）取最大值1．（9分）
（3）證明：當x∈(

1

2

，1]時，f（x）≤f（1）=1
當x∈(

1

4

，

1

2

]時，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

＜2x   即f（x）＜2x．（14分）

點評：本題主要考查了函數的最值，以及恒成立問題，同時考查了賦值法的應用，屬于中檔題．