Question

已知等差數列{a_n}中，前n項和S_n滿足：S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930．
（1）求數列{a_n}的通項公式以及前n項和公式；
（2）是否存在三角形同時具有以下兩個性質，如果存在，請求出三角形的三邊長和b值；如果不存在，請說明理由．
①三邊是數列{a_n+b}中的連續三項，其中b∈N*；
②最小角是最大角的一半．

Answer 1

（1）由S₁₀+S₂₀=1590，S₁₀-S₂₀=-930，可得：S₁₀=330，S₂₀=1260．
由等差數列前n項和公式可得：10a₁+45d=330，20a₁+190d=1260，可得：a₁=6，d=6，
所以a_n=6+（n-1）×6=6n，S_n=6n+3n（n-1）；
（2）假設存在，三邊為6n+b，6n+b+6，6n+b+12，設x=6n+b（x＞6），則三邊為x，x+6，x+12，
設最小角為α，則最大角為2α，∴cosα=

x2+36x+180

2(x+6)(x+12)

=

x+30

2(x+12)

，cos2α=

x2-12x-108

2x(x+6)

=

x-18

2x

∵cos2α=2cos²α-1，∴

x-18

2x

=2[

x+30

2(x+12)

]²-1
∴

x-18

x

=

-(x-6)2+648

(x+12)2

，此方程無解，∴不存在．