Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=PA=4，A點在PD上的射影為G點，E點在AB上，平面PCE⊥平面PCD．
（1）求證：AG⊥平面PCD；
（2）求直線PD與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，CD∩PD=D

∴AG⊥平面PCD

（2）解：如圖建立坐標系，則P（0，0，3），C（4，4，0），D（0，4，0），G（0，2，2），

設E（a，0，0），由（1）知： 是面PCD的法向量，

又 ， ，設面PCE的法向量為 ，

則 ，取x=4，得：

因平面PCE⊥平面PCD， ，∴a=2，即：

又 ，設PD與面PCE所成的角為θ，

則：

【解析】（1）先證明出CD⊥平面PAD，進而可推斷出CD⊥AG，然后利用AG⊥PD，根據線面垂直的判定定理證明出結論．（2）建立坐標系，先求出面PCE的法向量，再利用向量的夾角公式求出直線PD與平面PCE所成角的正弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．