Question

如圖，在半徑為1m的圓中作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓中作內(nèi)接正六邊形，如此無(wú)限繼續(xù)下去，則所有這些圓的面積和S=______m²．

Answer 1

依題意分析可知圖形中內(nèi)切圓半徑分別為：1，cos30°，cos30°×cos30°，cos30°×cos30°×cos30°
即1，

3

2

，

3

4

，

3 3

8

，…
則面積依次為：π，

3π

4

，

9π

16

，

27π

64

，…
∴所有這些圓的面積和為

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(π+

3π

4

+

9π

16

+

27π

64

+…)=π

lim

n→∞

(1+

1

4

+

9

16

+

27

64

+…)=π×

1

1- 3 4

=4π
故答案為4π