Question

【題目】在即將進(jìn)入休漁期時(shí)，某小微企業(yè)決定囤積一些冰鮮產(chǎn)品，銷售所囤積產(chǎn)品的凈利潤f(x)萬元與投入x萬元之間近似滿足函數(shù)關(guān)系：，若投入2萬元，可得到凈利潤為5.2萬元．

(1)試求該小微企業(yè)投入多少萬元時(shí)，獲得的凈利潤最大；

(2)請判斷該小微企業(yè)是否會(huì)虧本，若虧本，求出投入資金的范圍，若不虧本，請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.7，ln 15≈2.7)

Answer 1

【答案】（1）8；（2）

【解析】

（1）由題意可得f（2）=5.2，解得a=-4，討論2≤x≤15時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值；由0＜x＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)性可得f（x）的最大值；
（2）討論0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0的x的范圍，由f（x）在[2，15]的端點(diǎn)的函數(shù)值，可得f（x）＞0，即可判斷企業(yè)虧本的x的范圍．

(1)由題意可知，當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝5.2，即有aln 2－×22＋×2＝5.2，解得a≈－4.則f(x)＝當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f′(x)＝－－x＋＝－.當(dāng)2＜x＜8時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)8＜x＜15時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．故當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f(x)max＝f(8)＝－4ln 8－16＋36≈11.6.當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＝4x－2ln 2≈4x－1.4，令f′(x)＝0，得x＝0.35，當(dāng)x∈(0，0.35)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(0.35，2)時(shí)，f′(x)>0.所以易知f(x)＜2×4－(2ln 2)×2≈5.2.故該小微企業(yè)投入8萬元時(shí)，獲得的凈利潤最大．

(2)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，2x2－(2ln 2)x＜0，解得0＜x＜ln 2，即當(dāng)0<x<ln 2時(shí)，該企業(yè)虧本；當(dāng)2≤x≤15時(shí)，f(2)≈5.2，f(15)＝－4ln 15－×152＋×15≈0.45＞0，則f(x)min＝f(15)≈0.45＞0.綜上可得，當(dāng)0＜x＜ln 2，即0＜x＜0.7時(shí)，該企業(yè)虧本．