Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．己知csinA=

3

acosC．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=

7

，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

（Ⅰ）∵csinA=

3

acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=

3

sinAcosC
結(jié)合sinA＞0，可得sinC=

3

cosC，得tanC=

3

∵C是三角形的內(nèi)角，∴C=60°；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA，
而3sin2A=6sinAcosA
∴由sinC+sin（B-A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA
當(dāng)cosA=0時，∠A=

π

2

，可得b=

c

tanC

=

21

3

，
可得三角△ABC的面積S=

1

2

bc=

7 3

6

當(dāng)cosA≠0時，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，
∵c=

7

，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=7…②，
聯(lián)解①①得a=1，b=3，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×1×3×sin60°=

3 3

4

．
綜上所述，△ABC的面積等于

7 3

6

或

3 3

4

．