Question

【題目】已知函數f(x)，k≠0，k∈R．

（1）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意，由函數的解析式分析可得的表達式，討論的范圍，分析與的關系，即可得結論；
（2）設 ，分析可得的范圍，則 對的范圍進行分情況討論，討論函數的單調性，求出的范圍，綜合即可得答案．

（1）根據題意，函數f(x)，其定義域為R，

f(-x)= ，當k=1時，有f（x）=f（﹣x），函數f（x）為偶函數，

當k≠1時，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函數f（x）為非奇非偶函數；

（2）設t=2x，x∈（﹣∞，0]，則有0＜t≤1，則y=，

當k＜0時，函數f（x）在R上遞減，符合題意；

當k＞0時，t∈（0，）上時，函數y=遞減，t∈（，+∞）上時，函數y=遞增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上單調遞減，必有≥1，解可得k≥1，

綜合可得：t的取值范圍是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．