Question

15、已知奇函數f（x）是定義在R上的增函數，數列x_n是一個公差為2的等差數列，滿足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0，則x₂₀₁₁的值等于

4003

．

Answer 1

分析：設x₈=a，則x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，則f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，結合奇函數關于原點的對稱性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x₈=-3．設數列{x_n}通項x_n=x₁+（n-1）．x₈=x₁+14=-3．x₁=-17．通項x_n=2n-19．由此能求出x₂₀₁₁的值．

解答：解：設x₈=a，則x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
結合奇函數關于原點的對稱性可知，f（a）+f（a+6）=0，
f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），
即a+3=0．
∴x₈=-3．
設數列{x_n}通項x_n=x₁+（n-1）．
∴x₈=x₁+14=-3．
∴x₁=-17．
∴通項x_n=2n-19．
∴x₂₀₁₀=2×2011-19=4003．
故答案為：4003．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意遞推公式的合理運用．