Question

在直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，2），B（-1，0），C（1，0），動點P（x，y）是△ABC內的點（包括邊界）．若目標函數z=ax+by的最大值為2，且此時的最優解所確定的點P（x，y）是線段AC上的所有點，則目標函數z=ax+by的最小值為

-2

．

Answer 1

分析：先根據三頂點A（0，2），B（-1，0），C（1，0），畫出可行域，設z=ax+by，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線ax+by=z與可行域內的邊BC平行時，z=ax+by取最大值時的最優解有無數個，從而得到a，b值，最后再求出目標函數z=ax+by的最小值即可．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，
設z=ax+by，
將最大值轉化為y軸上的截距，
當直線ax+by=z與可行域內的邊BC平行時，z=ax+by取最大值時的最優解有無數個，將-

a

b

等價為斜率，
數形結合，得 k_AC=-2=-

a

b

，且a×1+b×0=2，
∴a=2，b=1，z=2x+y
當直線z=2x+y過點B時，z取最小值，最小值為-2．
故答案為：-2．

點評：本題主要考查了簡單線性規劃，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．